Méthode de travail pour un blog

* Chaque message ne devrait pas prendre plus de 5 minutes à être rédigé, ni plus d'une dizaine de lignes. Sans cela, il risque fort de ne pas être écrit ou lu tout de suite;

* chaque décision devrait être postée directement, sans cela, la majorité sera oubliée . Cela prend du temps au départ, mais on s'habitue vite à le faire.

* le titre de chaque message doit résumer la décision. Il doit être possible de savoir de quoi ça parle sans lire le contenu du message (l'utilité se trouve dans les flux RSS).

Cours du mardi 6/02 1° heure.

Pendant ce cours, nous avons achever la résolution des problèmes sur les triangles quelconques.
Voici le plus difficile : problème numéro 9.

Enoncé :

La cathédrale (segment en bleu) se trouve au sommet d’une colline. En observant le somment de la flèche de la cathédrale depuis le pied de la colline, l’angle d’élévation est de 48° ( 32° + 16°). Si on observe à 60 m de la base de la colline, l’angle d’élévation de la flèche est de 41°. La pente de la colline forme un angle de 32°. Quelle est la hauteur de la cathédrale (segment bleu)

Modélisation :

Il y a plusieurs façons de résoudre ce problème. Celle-ci n'est qu'un exemple.

Cours du jeudi 08/02/07

• Propriétés

1 ) relations conservées

- alignement

- parallèle

- rapport des longueurs

- milieu des segments

2 ) plans parallèles

Toutes figures contenue dans un plan parallèle a est représenter en vrai grandeur

Vrai grandeur :

- Longueurs de segment
- Mesures d’angles

3 ) cercle

Suivant les cas les cercles sont représenter par des segments, les cercles ou des éllipses

• représentation d'un objet en perspective cavalière

1 ) point de vue

il existe 4 points de vue :

1 ) en haut a gauche

2 ) en haut a droite

3) en bas a gauche

4 ) en bas a droite

2 ) faces frontales

• plan perpendiculaire a notre regard
• les dimensions sont conservée
• angles en mesures réelles

3 ) faces fuyantes

• "cotés " de l'objet
• la droite horizontales de l'objet sont représenter par des droites fuyante parallèle
• les segment verticaux restent verticaux et garde leurs distances
• les dimensions de ces droites sont diminué

Chapitre 7: cours du lundi 5 février.

Les triangles quelconques: exercices.

Exercice 6:

Les angles d'élévation d'un ballon à partir de deux points au sol sont respectivement de 24,10° et 47,40°. Comme le montre la figure, les points A et B sont distants de 8,4 km et le ballon se situe entre ces deux points, dans un plan vertical. Calculer l'altitude du ballon.

Schéma:




Calcule:
γ= 180-24,10-47
= 108.5°
c / sin γ= b / sinβ <=> b = c .sinα / sinβ
hauteur = sinβ = hauteur / hypothénuse <=> hauteur = b . sinα
= b . sin 24.10°
= ((c . sinγ) / sinβ) . sinα
= ((8400 . sin 47.40°) / sin 108,5°) . sin 24,10°
≈ 2,676 km

Excercice 7 :

Un navire explorateur repère l'étrave C d'une épave. Il est alors en A et voit l'épave sous un angle de 40° par rapport à l'horizontale. Il se rapproche de 1500 m jusqu'au point B où il voit l'épave sous un angle de 70°. Schématiser la situation et calculer la profondeur à laquelle se trouve l'épave.

Schéma:

Chapitre 7: cours du jeudi 1 février

7.2.4. Exercices.
Résous les triangles suivants:

Données:

3) a= 12,71m; béta= 49,23°et gamma= 65,36°

alpha= 180°- 49,23°- 65,36°
alpha= 65,41°

a/sin alpha = b/sin béta
b = a.sin béta/sin alpha
b = 12,71.sin 49,23/sin 65,41
b ~~ 10,59m

a/sin alpha = c/sin gamma
c = a.sin gamma/sin alpha
c = 12,71.sin 65.36/sin 65,41m
c ~~12,70m

5) a =35m; b =40m et béta =51°

a/sin alpha = b/sin béta
a = b.sin alpha/sin béta
sin alpha = a.sin béta/b
sin alpha = 350sin 51/40
sin alpha ~~ 0,69°
{ cette étape permet de connaître si il existe alpha 2, si le nombre est supérieur à 1 il y aura donc alpha 2}

sin alpha = a.sin béta/b
alpha 1 = sin/1 (35.sin 51/40)
alpha 1 ~~ 42,84°

gamma =180° - 42,84° - 51°
b/sin béta = c/ sin gamma
c = b.sin gamma/sin béta
c = 40.sin86,16/sin 51
c ~~ 51,36m


Différence entre angle inscrit et angle opposé:
angle inscrit = angle compris dans un triangle entre 2 côtés et qui est sommet de ces côtés.
angle opposé = angle opposé à un coté.

deuxième heures du MARDI 30/01/2007

"Méthodes de résolution de triangles quelconques+cas


1. Cas
   Premier cas (CCC):
   On possède la longueur des trois côtés
   On utilisera :-Les relation aux cosinus
   -les relations aux angles
   Deuxième cas :(ACA)
   On connaît deux angles et un coté :
   On utilisera :-relation aux sinus
   -relation aux angles
   troisièmes cas(CAC)
   on connaît :- deux cotés ainsi que un angle inscrit
   On utilisera :-relation aux sinus
   -relation aux angles
   Quatrième cas(CCA)
   On connaît deux cotés ainsi que l’angle opposé
   On utilisera :-relation aux sinus
   -relation entre les angles

exercice du quatrième type

on connaît:-Le coté b=4cm

c=6cm

- L’angle bêta=28°

On cherche donc:alpha,gamma et a

dans un triangle de quatrième type on utilisera les relations aux sinus ainsi que les relations aux angles(voir cas si dessus)

((b)/sinα)=((c)/sinγ) sinγ=((c.sinβ)/b)

sinγ=((6.sin28)/4)=0,7042

γ1= arcsin0,7042

γ1=44,7645

γ2=180-γ1

γ2=180-44,7645=135,2355

α1=180-(28+44,7645)

α1=107,2355

α2=180-(135,2355+28)

α2=16.7645

a1=((b.sinα1)/sinβ)=((4.sin107,2355)/sin28)

a1=8,1376 cm

a2=((b.sinα2)/sinβ)=((4.sin16,7645)/sin28)

a2=2,4576 cm

Chapitre 7:cours du mardi 30 janvier(1er heure de cours)

4ème cas : 2 côtés et 1 angle:
Algébrique:

a ⁄ sinα = b ⁄ sinβ <=>sinβ =d sinα ⁄ a

β₁=sin⁻₁ ( b sinα/ a) ( β+α≥180=impossible)
γ₁ = 180 – β - α₁
C₁= a sinγ₁ ⁄ sinα

β₂= 180-β₁( β+α≥180=impossible)
γ₂=180-α-β₂
C₂=a sinγ₂ ⁄ sinα

Expliquation:

Si sin>1 ≠pas d'angle possible donc pas de solution!!
Cas 1(ccc)=cos
cas 2(aca)=sin
Cas 3(cac)=cos
cas 4(cca)=sin

Exemple:

1) c=3cm ; b=5cm; β =40°

γ₁) b/ sinβ = c/sinγ <=> sinγ = c sin β / b
=3 sin40/5
≈0,3856
γ₁ ≈ sin-₁ (0,3856)
≈ 22,68°
α₁) α₁≈180-40-22,68
≈1 17,32°
a₁) a₁= d sinα/sinβ₁
≈ 6,9cm

γ₂) γ₂=180-α
≈157,32°
γ₂+β>180°
=>impossible !!!!!

CHAPITRE 7: cours du mardi 23 janvier première heure

Chapitre 7

Démonstration
-> relation au cosinus

Hypothèse :

Dans un triangle quelconque : alpha, beta, gamma aigus

Thèse :

Outil : Triangle rectangle

-> pytagore
->cos = adj/Hyp


Démonstration : soit H telle que ACH et BHC sont des triangles rectangles

CQFD

CHAPITRE 7: Cours du vendredi 26 Janvier 2007

II b) Cas classiques de résolution de triangles quelconques

4éme cas: on donne 2 côtés et l'angle opposé à l'un d'eux

1)

nombre de solution : 1

2)

nombre de solution : impossible

3)

nombre de solution: 2

CONCLUSION: Ce cas admet 0, 1 ou 2 solutions

On donne a, b et α , on cherche c, β et Ճ

Raisonnement algébrique: β => a/sinα = b/sinβ <=> sinβ = b. sinα/a

1) β1 1) β2

α+ β>ou= 180°: solution n'existe pas

2) Ճ1=180-α-β1 2) Ճ2=180-α-β2

α+β+Ճ> 180° : solution n'existe pas

3) a/sinα= c/sinՃ1 3) c= a.sinՃ2/sinα

β2=180° => il est impossible d'utiliser le cosinus !

CHAPITRE 7 : Cours de math du jeudi 25 janvier 2007

II. b) Cas classiques de resolutions de triangles quelconques.

2ème cas: on donne 2 angles et 1 coté.
1)

on donne α, β, c => on cherche donc a, b, Ճ
car: résoudre un triangle c est connaître ses 3 angles et ses 3 cotés

Ճ) Ճ= 180-α-β
=180-36-110
=34°

a) a/sinα= c/sinՃ
<=> a= c.sinα/sinՃ
= 4,3.sin36/sin34
=4,32 cm

b) c/sinՃ=b/sinβ rem: a/sin α=b/sinβ => NON
<=>b=c.sinβ/sinՃ car a est un nombre arrondi
=4,3.sin110/sin34
=7,23 cm

Nombre de solutions: 1 seule solution

2)









Nombre se solutions: impossible

CONCLUSION:
Ce cas admet une solution unique à condition que la somme des 2 angles soit strictement inférieure à 180°

3ème cas: on donne 2 cotés et l'angle compris

1)

b= 7,8 cm α= 39°
c= 4,72 cm

β= ?

a= ?

Ճ= ?

a) a²= b²+c²-2.b.c. cos α
<=>a= racine carré de b²+c²-2bc.cosα
= racine carré de (7,8²+4,72-2.7,8.4,72.cos39)
rem: sur la calculatrice il est IMPÉRATIF de mettre des parenthèses
= 5,0888 cm

Rem:

sinu = 2 cas possibles donc on ne travail pas avec le sinus
cos = 1 seul cas possible (car la somme des angles d'un triangle ne fait pas plus de 180°)

Nombre de solutions: 1 seule solution

CHAPITRE 7: cours du mardi 23/01 2eme h de math

II b) Cas classiques de résolutions de triangles quelconques

1er cas : On donne 3 côtés.

1)

_________ 2,30cm
_______________ 2,70cm

_________________________3,90 cm

a² = b²+c² - 2bc cos α
<=> 2bc cos α = b²+c²- a²
<=> cos α = (b²+c²- a²)/2bc
<=> α = cos-1{( b²+c²- a²)/2bc}
<=> α = cos-1(2,7²+3,9²-2,3²)/2.2,7.3,9
<=> α = 35,20°

SI α=36°

β=42,5°

Ճ=101,5°

Nombres de solutions : 1

2)
________ 2 cm

____________ 3,10 cm

____________________________ 6,20 cm

IMPOSSIBLE

Nombres de solutions : 0

conclusion:

ce cas admet une solution unique a condition que chaque côté soit inférieur à la somme de 2 autres côtés.

Chapitre 7

II. Les triangles quelconques
B) Démonstration
-> Relation aux sinus
















Hypothèse :

Dans un triangle quelconque : alpha, beta, gamma aigus

Thèse :





Outils :





Pourquoi un triangle rectangle vu que l'on est dans les quelconques ? O_o
Principe de base en math : Pour toute chose que l'on ne connais pas, on se base sur ce que l'on connais.

Démonstration :













a : Soit H telle que les triangles ACH et BCH rectangles.
















b : Soit M telle que ABM et BCM rectangles
















c :

CQFD

Les triangles quelconques. Cours du vendredi 19 Janvier 2007

ΙΙ Les triangles quelconques.
a) Notions et formules.
1. Formules.

• Relation entre les angles => α+β+Ճ = 180°
• Relation aux sinus => a / Sin(α) = b/ Sin(β) = c/Sin(Ճ)
• Relations aux cosinus. :

=>a² = b²+c² - 2bc cos α

=>b²=a²+b² - 2ac cos β

=>c²=a²+c² -2ab cos Ճ

Le cours du vendredi 19/01 a été dur a achever, pour cause d'une panne de courant grâce au merveilleux temps que la Belgique nous offre [Je veux bien sur parler de la tempête!]. C'est pour cela qu'il y a eu peu de matière vue ce jour là. Nous étions à la Chapelle, dans le noir. Conditions difficiles.

J'ai trouvé les symboles grecs dans Microsoft World et j'ai fais du copier/coller.

Chapitre 7. Point 1.

Chapitre 7

I. Les triangles rectangles

A) Notations et forlmules :

-> Notations :

• Le "coin" pour l'angle droit.
• Les sommets des angles : Lettres en majuscules.
• Les segments de droites : Lettres en minuscules.
• Les angles : Lettres grecques.

NB : "A" est toujours l'angles droit dans un triangle rectangle!

-> Formules :

• Relation entre angles. \beta + \gamma = 90°
• Relation entre côtés. a² = b² + c²
• Nombres trigonométriques d'un angle aigu (donc pas\alpha).

sin \beta = {b} {a}

cos \beta = {c} {a}

tan \beta = {b} {c}

sin \gamma = {c} {a}

cos \gamma = {b} {a}

tan \gamma = {c} {b}

Cos \angle = {Adj.} {Hyp.}

Sin \angle = {Opp.} {Hyp.}

Tan \angle = {Opp.} {Adj.}

Moyen mnémotechnique : Cah- Soh - Toa ou Soh - Cah - Toa.

B) Exercices :

Résoudre un triangle c'est avoir tout ses côtés

et toutes les longueurs de ses angles.

1. a = 12 ; \beta = 30,26°

Comment fait-on pour résoudre?

On cherche dans les formules ci-dessus laquelle à les deux valeurs données dans l'énnoncé et celle à trouver.

b -> sin \beta = {b} {a}

\leftrightarrow b = a . sin\beta

= 12 . sin 30,26

\ approx 6,05 (arrondi à deux décimales)

c -> cos \beta = {c} {a}

\lefttrightarrow c = a . cos \beta

= 12 . cos 30.26

\approx 10.26

NB : Quand on cherche la valeur d'une longueur ou d'un angle, on doit toujours aprtir de ce qu'on connait donc de ce qui est donnée dans l'énnoncé. Et pas des arrondie qu'on a obtenu!!!

Delphine

Math en 4G4

Ce blog est édité par la classe 4GT4 de l’Indsé (Bastogne, Belgique) pour expliquer ce que nous avons vu au cours. L'objectif est que chaque élève, à tour de rôle, se charge de noter ce qui a été vu durant une heure (50 minutes) de cours.

Il faut rédiger le billet comme si quelqu'un avait été malade. Il devrait pouvoir se rattrapper uniquement en lisant les billets des jours où il(elle) a été absent(e).

Les participants sont cités ci-dessous. Celui en gras est le prochain à faire le résumé du cours. Ceux barrés sont ceux ayant déjà écrit un billet et ne pouvant donc pas être choisi pour mettre le prochain billet tant que tout le monde n'en aura pas fait un. Dans le désordre alphabétique : Michèle, Diane, Élise, Kevin, Denis, Nicolas M, Maxime, Thomas, Romain S, Paul-Henry, Julie, Romain L, Nicolas B, Corentin, Amandine, Florent, Delphine, Dimitri, Bastien, Fabian, Anne-Laure, Cédric, Lynn et Toru.